Die Monte-Carlo-Methode: Per Zufall zum richtigen Ergebnis
Xaver Kohlbrenner und Christopher Schön berichten von ihrer Arbeit an der Universität Mannheim, Fakultät für Mathematik und Informatik
Es gibt mathematische Probleme, die analytisch nicht oder nur mit sehr hohem Aufwand gelöst werden können. Wenn in diesen Problemen Zufallsprozesse involviert sind, kann ein stochastisches Vorgehen mittels der Monte Carlo Methode einen Lösungsansatz bieten. Die Monte Carlo Methode ist ein computerbasiertes Simulationsverfahren, das Algorithmen verwendet, die über große Sequenzen von Zufallswerten ein numerisches Endergebnis berechnen. Der erhaltene Wert ist eine Approximation des Erwartungswerts einer Zufallsvariable, die es zu untersuchen gilt. Im Rahmen Ihres Abschlussprojekts untersuchten Xaver Kohlbrenner und Christopher Schön an der Universität Mannheim unter Anleitung von Herrn Dr. Peter Parczewski die Monte Carlo Methode.
Vor circa 250 Jahren beschäftigte sich der französische Naturwissenschaftler Georges-Louis Leclerc de Buffon mit wahrscheinlichkeitstheoretischen Fragestellungen. Im Rahmen seiner Überlegungen entwickelt er ein iteratives mathematisches Verfahren zum Bestimmen eines konstanten Werts, des Erwartungswerts. Sein später berühmt gewordene Nadelexperiment zeigt, dass man durch einen entsprechend aufgebauten Versuch auf dem Wege des Zufalls einen konstanten Wert, im konkreten Fall die Kreiszahl Pi, annähern kann.
Ein einfaches Monte Carlo Experiment zur Approximation von Pi ist das folgende. In einem Quadrat ist ein Viertelkreis eingezeichnet, dessen Radius der Quadratseitenlänge entspricht. Es werden Punkte zufällig auf der Fläche verteilt. Das Verhältnis der Anzahlen der Punkte innerhalb des Kreises zur Gesamtzahl der Punkte im Quadrat repräsentiert bei steigender Punktzahl mit zunehmender Genauigkeit das Verhältnis der beiden Flächen. Daraus lässt sich die Kreiszahl Pi ableiten.
Die Namensgebung des Verfahrens erfolgte durch den berühmten Mathematiker John von Neumann während seiner Arbeit am Manhattan Projekt und bezieht sich auf den Glücksspielort Monte Carlo. Von Neumann und ein Team hochrangiger Wissenschaftler benutzten das Verfahren unter anderem zur Berechnung der Dicke von Abschirmwänden bei Kernzerfallsprozessen.
Im Kooperationsprojekt wurden simultan zur praktischen Durchführung von Simulationen und der Analyse von Problemen die theoretischen Grundlagen des Monte Carlo Verfahrens erarbeitet. Insbesondere das Gesetz der großen Zahlen und dessen Beweisführung, welche die Gültigkeit des Monte Carlo Verfahrens mathematisch begründen, wurden untersucht. Das Gesetz der großen Zahlen trifft eine Aussage über die Konvergenz einer Menge normierter Zufallsvariablen gegen ihren Erwartungswert. Umgangssprachlich ausgedrückt besagt das Gesetz, dass die relative Häufigkeit eines Zufallsergebnisses sich mit steigender Anzahl an Durchführungen immer mehr der theoretischen Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ergebnisses nähert. Eine Zufallsvariable dient der mathematischen Beschreibung eines Zufallsexperiments und ist eine Funktion, die den Ergebnissen eines Zufallsexperiments Zahlenwerte zuordnet. Der Erwartungswert einer Zufallsvariable ist ein konstanter numerischer Wert, der Aufschluss über die Verteilung der Wahrscheinlichkeiten auf die Ergebnisse des zugrundeliegenden Zufallsexperiments gibt. Nur mithilfe eines umfassenden mathematischen Regelwerks, wie in Ansätzen oberhalb aufgeführt, lässt sich ein vollständiger Beweis für das Gesetz der großen Zahlen durchführen.
Leclerc warf in seinem Nadel Experiment eine große Menge identischer Nadeln auf eine von parallelen Linien durchzogene Fläche. Indem er die Anzahl der Nadeln, die eine Linie schneiden, durch die Gesamtmenge der Nadeln teilte, erhielt er eine Approximation des Erwartungswerts. Zuvor hatte er eine Formel für den Erwartungswert analytisch ermittelt und nach Pi umgestellt. Einsetzen der Approximation des Erwartungswerts in die Formel lieferte nun eine Annäherung für Pi.
Zur Durchführung von Monte Carlo Simulationen wurde im Projekt die Programmierumgebung Matlab gewählt. Matlab wird primär zur numerischen Lösung von Problemen verwendet, beispielsweise zur Analyse großer Datenmengen. Zudem verfügt Matlab über eine grafische Oberfläche zur Darstellung der Ergebnisse beispielsweise als Plots, was ihre Auswertung und Analyse erleichtert.
Der Erfolg der Monte Carlo Methode spiegelt sich in ihrer weit gefächerten Nutzung in Wissenschaft und Wirtschaft wieder. Die Methode findet vor allem dann Anwendung, wenn eine Vielzahl von Faktoren für das Ergebnis von Relevanz ist. Das ist zum Beispiel bei Wettermodellen der Fall, die sich aufgrund ihrer Komplexität mit klassischen mathematischen Mitteln schlecht abbilden lassen. Ein Beispiel aus der jüngeren Vergangenheit ist die Anwendung des Langrangeschen Partikel Dispersion Modells zur Auswertung der Verbreitung radioaktiver Luftbeimengungen im Zusammenhang mit der Reaktorkatastrophe von Fukushima 2011.
Das obige Projekt wäre ohne die großzügige Unterstützung und Förderung durch das Hector Seminar nicht möglich gewesen. Besonderer Dank gilt den Kursleitern Frau Krämer, Herr Taulien sowie Herrn Dr. Gölz und Herrn Dr. Raque für ihre langjährige Betreuung. Dank gilt ebenfalls Herrn Dr. Parczewski von der Universität Mannheim für die intensive Begleitung des Projektes.